Может ли клиент писать логи в формате html, без вмешательства программ из вне, если да то как настроить?

Нет, не может

Ребят, если сам клиент этого делать не умеет, мб подскажете совместимый внешний клиент-прокси, который логи писать будет "как надо"?

Может быть по той-же схеме, как логи с турниров пишутся?